On finite tensor categories and quasi-quantum groups

Abstract

This dissertation is devoted to the classification theory and structure theory of finite-dimensional basic quasi-Hopf algebras and finite pointed tensor categories. Our main results are fourfold, and can be summarized as follows.

Firstly, we study the Nichols algebras of twisted Yetter-Drinfeld modules over an abstract finite abelian group G, including those of nondiagonal type. The method is to associate each Nichols algebra of a twisted Yetter-Drinfeld module to an ordinary Nichols algebra, and then apply Heckenberger's classification result on arithmetical root systems. As result, all the finite-dimensional Nichols algebras of simple twisted Yetter-Drinfeld modules are determined. When the order of G is odd, the finite-dimensional Nichols algebras of twisted Yetter-Drinfeld modules over G are classified.

Secondly, we investigate the construction of finite pointed tensor categories over an algebraical closed field of characteristic zero. We give a partial positive answer to a conjecture of Etingof, Glaki, Nikshych and ostrich, i.e. we prove that each finite pointed tensor category with abelian Grothendieck group of odd order is tensor generated by objects of length 2. This amounts to saying that any finite-dimensional pointed Majid algebras over an abelian group of odd order is generated by group-like elements and skew-primitive elements.

Thirdly, we provide a conceptional classification of odd-dimensional coradically graded pointed Majid algebras over abelian groups. This is also equivalent to a classification of coradically graded pointed Majid algebras over abelian groups of odd orders.

Finally, we construct classes finite-dimensional quasi-Hopf algebras from finite abelian groups and braided vector spaces of Cartan type. These quasi-Hopf algebras are nonradically graded in general, and lead to several interesting results such as the classification and structure theories of basic quasi-Hopf algebras with certain conditions. As special cases of quasi-Hopf algebras of Cartan type, the small quasi-quantum groups are introduced and studied. Many other new examples of finite-dimensional genuine quasi-Hopf algebras are also provided, and consequently the associated finite tensor categories, are thus obtained.

Deze thesis is gewijd aan de classificatietheorie en structuurtheorie van eindig dimensionale basic quasi-Hopf algebras en eindige gepunte tensorcategorieën. De hoofdresultaten zijn vierledig en kunnen samengevat worden als volgt. Eerst en vooral classificeren we Nichols algebras van getwiste Yetter-Drinfeld modulen over een eindige abelse groep G, inclusief deze van het niet-diagonale type. De classificatiemethode bestaat eruit om aan elke Nichols algebra van een getwist YetterDrinfeld moduul, een gewone Nichols algebra te koppelen, vervolgens kan men Heckenbergers classificatieresultaat van aritmetische wortelsystemen gebruiken. Bijgevolg zijn alle eindig dimensionale Nichols algebras van enkelvoudige getwiste Yetter-Drinfeld modulen bepaald. Indien de orde van de groep G oneven is, zijn de eindig dimensionale Nichols algebras van getwiste Yetter-Drinfeld modulen over G geclassificeerd. Ten tweede bestuderen we de constructie van eindige gepunte tensorcategorieën over een algebraïsch gesloten veld met karakteristiek nul. We geven gedeeltelijk een positief antwoord op [22, Conjecture 5.11.10]. In het bijzonder bewijzen we dat elke eindige gepunte tensorcategorie met een abelse Grothendieck groep van oneven orde voortgebracht wordt als tensorcategorie door objecten van lengte 2. Dit komt overeen met te zeggen dat elke eindig dimensionale gepunte Majid algebra over een abelse groep van oneven orde voortgebracht wordt door groepachtige elementen en scheef-primitieve elementen. Ten derde voorzien we een conceptuele classificatie van oneven dimensionale coradicaalgegradeerde gepunte Majid algebras over eindige abelse groepen. Dit is equivalent met een classificatie van coradicaalgegradeerde gepunte Majid algebras over abelse groepen van oneven orde. Tot slot construeren we klassen van eindig dimensionale quasi-Hopf algebras vanuit eindige abelse groepen en gevlochten vectorruimtes van Cartan type. Deze quasiHopf algebras zijn niet noodzakelijk radicaalgegradeerd en geven aanleiding tot enkele interessante resultaten zoals de classificatie-en structuurtheorie van basic quasi-Hopf algebras met zekere voorwaarden. De kleine quasi-quantum groepen worden ingevoerd en bestudeerd als speciale gevallen van quasi-Hopf algebras van Cartan type. We verkrijgen veel nieuwe voorbeelden van eindig dimensionale quasi-Hopf algebras die niet twist equivalent zijn met gewone Hopf algebras, bij-gevolg verkrijgen we ook de geassocieerde eindige gepunte tensorcategorieën.