Connections between commutative and noncommutative algebraic geometry

Abstract

Dit doctoraat behandelt verschillende verbanden tussen commutatieve en niet-commutatieve algebraïsche meetkunde. Dit zijn abstracte gebieden in de fundamentele wiskunde, die al sinds de oudheid bestudeerd worden: algebraïsche meetkunde is oorspronkelijk ontstaan om (systemen van) veeltermvergelijkingen op te lossen, en de eigenschappen van die oplossingen te bestuderen. In niet-commutatieve algebraïsche meetkunde breiden we de mogelijke soorten van oplossingen uit, om zo een exibeler framework te hebben waarin we meetkunde kunnen bedrijven. Met die toegenomen exibiliteit komt echter ook een verhoogde complexiteit, waardoor er de nodige technische bagage vereist is om de resultaten te begrijpen. De niet-commutatieve algebraïsche meetkunde waar er hier gewag van wordt gemaakt behelst verschillende incarnaties van het onderwerp: niet-commutatieve projectieve meetkunde à la Artin–Zhang, de studie van afgeleide categorieën van gladde projectieve variëteiten à la Bondal–Orlov, en uiteindelijk komt dit allemaal samen in de studie van (gladde en propere) dg categorieën à la Kontsevich. De verbanden die dan gelegd worden in deze thesis helpen ons om moeilijke objecten in niet-commutatieve algebraïsche meetkunde beter te begrijpen, door ze te bestuderen met technieken uit de commutatieve algebraïsche meetkunde die vertrouwder zijn. In hoofdstuk 1 wordt een uitgebreide inleiding tot de “meetkunde van afgeleide categorieën” gegeven. Op deze manier wordt een van de belangrijkste thema’s in deze thesis geïntroduceerd, door een overzicht van de literatuur te geven en telkens de link te leggen met de toepassingen zoals deze in de thesis voorkomen. In hoofdstuk 2 wordt bestudeerd wanneer de afgeleide categorie van een eindigdimensionale algebra kan ingebed worden in de afgeleide categorie van een glad en projectief oppervlak. Omdat de afgeleide categorie van een kromme onontbindbaar is, is dit het eerste interessante geval, en er worden belangrijke obstructies gevonden voor het bestaan van zo’n inbedding. In hoofdstuk 3 wordt een inbedding van de afgeleide categorie van een nietcommutatieve kwadriek in de afgeleide categorie van een deformatie van het hilbertschema van een kwadriek bestudeerd. Dit is een speciaal geval van een vermoeden van Orlov, en we bespreken ook een concrete in nitesimale versie van dit vermoeden. Op basis van dit vermoeden is het vervolgens interessant om de hochschildcohomolo gie van niet-commutatieve oppervlakken exact te kennen, en in hoofdstuk 4 rekenen we deze uit voor niet-commutatieve vlakken en kwadrieken. Op basis van de numerieke classi catie van niet-commutatieve oppervlakken van rang 4 construeren we voorbeelden van alle mogelijke gevallen in hoofdstuk 5. Hier gebruiken we een alternatieve constructie van de blowup van een niet-commutatief oppervlak, die voorheen nog niet bestudeerd was. In hoofdstuk 6 vergelijken we vervolgens deze constructie in een speciaal geval met een eerdere constructie via niet-commutatieve P 1 -bundels. Hiermee krijgen we een niet-commutatieve versie van het klassieke isomor sme Blx P 2 F1, dat echter geen deformatie is van dit commutatieve fenomeen. In hoofdstuk 7 wordt de puntvariëteit van scheve veeltermenringen berekend. Dit is een moduliruimte die belangrijke informatie over dit niet-commutatieve object bevat, en we zijn in staat om in arbitraire dimensie te beschrijven hoe deze eruitziet, en in voldoende lage dimensie geven we zelfs een volledige classi catie. In hoofdstuk 8 wordt een niet-commutatieve versie van chowgroepen bestudeerd. Deze worden ingevoerd via tensorgetrianguleerde meetkunde, en er wordt aangetoond dat deze overeenkomen met invarianten die voorheen ad hoc werden geïntroduceerd. Tot slot zijn er twee korte appendices. In appendix A wordt de stelling van Borel– Weil–Bott gebruikt om de hochschildcohomologie van P n te berekenen in functie van representaties van de liealgebra sln+1, waardoor er een onverwacht verband ontstaat met de theorie van orthogonale veeltermen. In appendix B wordt er een voorbeeld gegeven van een delingsalgebra wiens afgeleide categorie kan ingebed worden in de afgeleide categorie van een gladde projectieve variëteit van lagere dimensie dan verwacht.