Efficiency of stochastic engines

Abstract

In deze thesis bestuderen we de thermodynamica van mesoscopische systemen. Het fundamenteel verschil met macroscopische systemen is dat in deze systemen thermische fluctuaties belangrijk zijn. Thermodynamische grootheden zoals arbeid en warmte krijgen een stochastisch karakter. Voorbeelden van zulke systemen komen voor in de bio- en nanotechnologie, zoals quantum dots, computer bits, en processen in biologische cellen. Om deze kleine systemen te bestuderen, dient men gebruik te maken van technieken uit de theorie van stochastische processen, zoals master vergelijkingen en Langevin dynamica. De voorbije decennia is er sterke vooruitgang geboekt in de studie van deze systemen. In het bijzonder zijn er algemene wetmatigheden afgeleid, die het mogelijk maken om verregaande uitspraken te doen over de thermodynamica van mesoscopische systemen. Deze resultaten hebben geleid tot de ontwikkeling van een algemene theorie: de stochastische thermodynamica. In dit werk zullen enkele nieuwe resultaten binnen deze theorie worden afgeleid. Ten eerste bespreken we lineaire thermodynamica voor tijdsafhankelijke systemen, en de uitbreiding ervan naar stochastische systemen. Hierbij tonen we aan hoe men een Onsager matrix definieert voor deze systemen. Deze Onsager matrix zal voldoen aan een veralgemeende Onsager-Casimir relatie. Dit formalisme maakt het ook mogelijk om het verband tussen efficiëntie en vermogen te bestuderen. Zo wordt aangetoond dat Carnot efficiëntie enkel bereikt kan worden in de sterke koppeling limiet, waarbij het vermogen naar nul gaat. Meer algemeen wordt er een verband gelegd tussen efficiëntie, vermogen en entropie productie, in de regimes waar telkens een van deze parameters geoptimaliseerd wordt. Zo kan men naast bovenvermeld resultaat verschillende andere verbanden aantonen, zoals dat de efficiëntie bij maximaal vermogen niet groter kan zijn dan 50%. In het tweede deel zullen de stochastische eigenschappen van de efficiëntie van motoren bestudeerd worden. Recentelijk werd aangetoond dat men uit de waarschijnlijkheidsdistributie voor de efficiëntie, de Carnot efficiëntie kan afleiden. Voor tijdsasymmetrische systemen ziet men dat de waarschijnlijkheidsdistributies geassocieerd aan de efficiëntie van het tijdsvoorwaardse en het tijdsgeïnverteerde proces elkaar snijden bij Carnot efficiëntie. Voor tijdssymmetrische systemen wordt de Carnot efficiëntie de minst waarschijnlijke efficiëntie. In dit werk zullen we deze resultaten verifiëren voor verschillende systemen. Hierbij zal gefocust worden op technisch eenvoudige systemen, zoals de effusie motor, die in grote mate analytisch opgelost kunnen worden, maar ook complexere systemen, zoals de Carnot cyclus en de Szilard motor, waarbij we gebruik maken van numerieke resultaten. Ook worden enkele nieuwe algemene resultaten afgeleid. Zo wordt onder andere aangetoond dat de kans op zeer grote of kleine efficiëntie η evenredig is met η −2, hetgeen impliceert dat alle momenten geassocieerd aan de kansverdeling van de efficiëntie divergeren. In het derde en laatste deel komen de twee bovenstaande onderwerpen samen in het zogenaamde Browns duet. Dit is een eenvoudig volledig Gaussisch model, waarbij de lineaire thermodynamica exact wordt. Dankzij de eenvoud van het model kan men alle belangrijke grootheden analytisch berekenen. In het bijzonder is het mogelijk om de kansverdeling van de efficiëntie volledig analytisch te bepalen. Een ander belangrijk voordeel van dit model is dat het experimenteel geconstrueerd kan worden. Dit wordt gedaan via een feedback trap. Op deze manier worden alle bovenstaande voorspellingen rond stochastische efficiëntie en lineaire thermodynamica experimenteel geverifieerd.

In this thesis, we will study the thermodynamics of mesoscopic systems. The fundamental difference with macroscopic systems is the presence of thermal fluctuations. Thermodynamic quantities, such as work and heat, will become stochastic. This theory has applications in bio and nanotechnology, e.g. quantum dots, computer bits, and processes in biological cells. To study these small systems, we use techniques from the theory of stochastic processes, such as master and Langevin equations. Over the past decades, strong progress has been made on the study of these systems. In particular, general laws have been derived, which make it possible to derive far-reaching predictions on the thermodynamics of stochastic systems. These results have led to the development of a general theory: stochastic thermodynamics. In this work, we will derive some new results within this theory. After an introductory chapter, we discuss the linear thermodynamics of timeperiodic systems, with an extension to stochastic systems. We show how to define the Onsager matrix, which satisfies a generalized Onsager-Casimir relation. This formalism makes it possible to study the link between efficiency, power and entropy production. We derive a set of relations linking efficiency, power and entropy production in the regimes where one of these parameters is optimized. This leads to a number of conclusions. For example, one can show that the efficiency at maximum power is always lower than 50%. Also, we show that Carnot efficiency can only be reached in the tight coupling regime, where the power decreases to zero. In the second part, we will study the stochastic properties of the efficiency of engines. Recently, it has been shown that one can deduce the Carnot efficiency from the probability distribution associated with the efficiency. For time asymmetric systems, one can see that the probability distributions of the efficiency for the timeforward and time-reversed driving intersect at Carnot efficiency (in the long time limit). For systems with time-symmetric driving, reversible efficiency becomes the least likely efficiency. In this work we will verify these results for several systems. We will focus on technical simple systems, such as the effusion engine, which can be solved almost entirely analytically, but also on more complex systems such as the Carnot cycle and the Szilard engine, where we rely on numerical results. We will also derive some new general results. For example, the probability distribution associated with efficiency has power law tails, i.e., pt(η) ∼ η −2 for η → ±∞. This implies that all moments associated with this probability distribution diverge. In the third and final part, the above two subjects come together in the study of the Brownian duet. This is a fully Gaussian model, where the linear thermodynamics becomes exact. Due to the simplicity of the model, one can calculate all important quantities exactly. In particular the probability distribution associated with the efficiency can be found analytically. Another important advantage of this model is that it can be constructed experimentally. This is done using a feedback trap. In this way, all of the above predictions about linear thermodynamics and stochastic efficiency are verified experimentally.