A high order discretization technique for singularly perturbed differential equations

Abstract

The compressible Navier-Stokes equations converge towards their incompressible counterpart as the Mach number ε tends to zero. In the case of a weakly compressible flow, i.e. ε 1, the resulting equations can be classified as singularly perturbed differential equations. Unfortunately, these equations set special requirements on numerical methods due to which standard discretization techniques often fail in efficiently computing an accurate approximation. One remedy is to split the equations into a stiff and a non-stiff part and then handle the stiff part implicitly and the non-stiff part explicitly in time. This procedure results in an IMEX method, with the crucial part being the choice of the splitting. In this thesis the novel RS-IMEX splitting, which uses the ε → 0 limit to split the equations by a linearization, is coupled with high order IMEX Runge-Kutta schemes. The resulting method is applied to different singularly perturbed differential equations and investigated in its behavior for ε 1. This is done in the following steps: First, the method is applied to a class of ordinary differential equations and it is proven in which way the resulting discretization suffers from order reduction. For this, it is shown that the convergence behavior depends on ε and that order reduction mainly depends on the implicit part of the discretization. This leads to an improved convergence behavior compared to an established splitting. Numerical computations show the influence of order reduction and a comparison to standard methods is provided. Second, the isentropic Euler equations are considered to investigate the resulting method in the setting of a weakly compressible flow. For the spatial discretization a discontinuous Galerkin method is used. It is proven that the resulting method is consistent with the ε → 0 limit of the equations, i.e. the overall algorithm is asymptotically consistent. Then, with the help of numerical computations an investigation of stability and accuracy is provided. Overall, the method proposed in this thesis is a high order discretization for singularly perturbed differential equations which is consistent the ε → 0 limit and shows the desired behavior in the low Mach setting.

In deze thesis worden de Navier-Stokes vergelijkingen voor een zwak-samendrukbare vloeistof beschouwd. Als het Mach getal ε naar nul convergeert, convergeren de Navier-Stokes vergelijkingen naar hun tegenhangers voor onsamendrukbare vloeistoffen. Voor alleen maar zwak samendrukbare vloeistoffen stellen de vergelijkingen dus een singulier gestoord probleem voor. Standaard numerieke methoden zijn minder geschikt voor deze klasse van vergelijkingen omdat ze zich hier vaak zeer ineffici¨ent gedragen. Een oplossing is dus om de vergelijking in twee delen op te splitsen, namelijk een stijf en een niet-stijf deel. Het stijve deel wordt vervolgens impliciet, en het niet-stijve deel expliciet in de tijd behandeld. Dit levert de IMEX methode; een zeer belangrijk deel is hierbij de keuze van de splitsing. Hier beschouwen wij de nieuwe RS-IMEX splitsing, die gebruik maakt van de ε → 0 limiet om de vergelijking via een linearisatie van de flux op te splitsen. De RS-IMEX splitsing wordt aan een IMEX Runge-Kutta methode van hoge orde gekoppeld, de finale methode wordt vervolgens op een aantal singulier gestoorde differentiaalvergelijkingen toegepast. Het gedrag van de methode voor ε 1 wordt geanalyseerd. Eerst passen wij de methode op een klasse van gewone differentiaalvergelijkingen toe. We tonen aan hoe orde-reductie in het spel komt door te laten zien dat het convergentiegedrag voornamelijk van de impliciete discretisatie afhangt. Dit levert een verbetering ten opzichte van standaardmethoden. Vervolgens passen wij de methode op de isentrope Euler vergelijking toe. Voor de ruimtelijke discretisatie maken wij gebruik van de discontinue Galerkin methode. We bewijzen dat de methode ook voor ε → 0 het juiste resultaat levert, de methode is dus asymptotisch consistent. Bovendien wordt stabiliteit en nauwkeurigheid van de methode met behulp van numeriek onderzoek besproken. De in deze thesis voorgestelde methode is een discretisatie methode van hoge orde voor singulier gestoorde differentiaalvergelijkingen die de ε → 0 limiet van de vergelijkingen respecteert.