Localizations of (one-sided) exact categories

Abstract

Exacte categorie¨en zijn additieve categorie¨en tezamen met een gekozen stel kerncokern paren die voldoen aan twee duale lijsten van axioma’s, ´e´en lijst verwijst enkel naar de kernen en de andere enkel naar de cokernen. Exacte categorie¨en vormen een algemeen kader voor het bestuderen van homologische eigenschappen en voor algebra¨ısche K-theorie. In deze thesis bestuderen we eenzijdig exacte categorie¨en. Eenzijdige exacte categorie¨en zijn eenvoudigweg gedefinieerd door slechts ´e´en van de twee duale lijsten van axioma’s te vragen. Deze thesis bestaat uit drie delen. In het eerste deel verzamelen we homologische eigenschappen van eenzijdig exacte categorie¨en, in het bijzonder tonen we aan dat het 3 3-lemma en het slangenlemma gelden. Gegeven een eenzijdig exacte categorie E is de afgeleide categorie DpEq bepaald, bovendien voldoet de inbedding i: E ãÑ DpEq nog steeds aan veel gewenste eigenschappen. Door de extensiesluiting te beschouwen van ipEq in Db pEq, bekomt men de exacte hull E ex van E. De exacte hull E ex is een universele exacte sluiting van E, bovendien induceert de inbedding j : E ãÑ E ex een driehoeksequivalentie Db pEq Ñ Db pE exq. In zekere zin bevat een exacte categorie dus niet meer of minder informatie dan een eenzijdig exacte categorie. Dat gezegd zijnde zijn er uiteraard meer eenzijdige exacte categorie¨en dan tweezijdige, bovendien werken een aantal constructies en resultaten met minder strenge voorwaarden dan voorheen. In het bijzonder tonen we aan dat elke rechts exacte categorie zodat kernen bestaan en inflaties zijn, een abels (linker) hart hebben. Verder tonen we aan dat de notie van een ‘resolving’ deelcategorie een eenzijdige veralgemening toelaat. We eisen niet langer dat de resolving deelcategorie gesloten is onder extensies, toch induceert zulk een deelcategorie de gewenste equivalenties. Het tweede deel is het hart van deze thesis. We ontwikkelen een lokalisatietheorie voor eenzijdig exacte categorie¨en aan ‘percolating’ deelcategorie¨en. Deze lokalisatietheorie veralgemeent simultaan de lokalisatie van abelse categorie¨en aan Serre deelcategorie¨en ([79]), de lokalisatietheorie van Cardenas voor exacte categorie¨en ([57]) en de lokalisatietheorie van Schlichting voor exacte categorie¨en ([155]). Door naar de eenzijdige taal over te stappen, is deze lokalisatietheorie veel flexibeler dan de eerdere theorie¨en. Zelfs in een puur tweezijdige context levert deze theorie meer voorbeelden op. Het centrale doel van deze thesis is dan ook niet zozeer om veralgemeningen en eenzijdig exacte categorie¨en te bestuderen, maar eerder om een flexibelere taal te ontwikkelen die meer constructies en resultaten toelaat. In het derde deel verzamelen we toepassingen en voorbeelden. Exacte categorie¨en spelen een belangrijke rol in de algebra¨ısche K-theorie. In het bijzonder is nietconnectieve K-theorie compatibel met lokalisatiesequenties. Onze lokalisatietheorie laat ons toe om eenvoudig de K-theorie van de categorie LCA van lokaal compacte abelse groepen te berekenen (dit werd eerst door Clausen in 2017 berekend door middel van hoger-categorische technieken). Bovendien vinden we een niet-commutatieve veralgemening. Verder vinden we ook een goede veralgemening van de formule van Auslander voor (eenzijdig) exacte categorie¨en. Deze formule opent perspectieven in representatietheorie en laat ook een classificatie van (eenzijdig) exacte structuren op een additieve categorie toe. Tot slot laat de lokalisatietheorie een categorische definitie toe van de ‘glider’ representaties. Glider representaties vormen een soort gefilterde representatietheorie van gefilterde ringen. De categorie van glider representaties is een uitstekend voorbeeld dat de noodzaak van de eenzijdige taal illustreert. Verder laat de categorische benadering toe om aan te tonen dat de mono¨ıdale categorie van glider represenaties van gefilterde groep genoeg informatie bevat om de groep zelf te reconstrueren. Op deze manier is het bijzonder duidelijk dat glider representaties veel meer informatie zien dan klassieke representatietheorie. Deze thesis is gebaseerd op de artikels [39, 91, 93, 94, 95, 96] en [97] en de twee preprints [92] en [40].