Deformations and invariants of tensor categories

Abstract

In deze thesis bestuderen we deformaties van tensor categorieen op basis van hun structurele ¨ invarianten. Een tensor categorie D wordt de deformatie genoemd van een tensor categorie C als de Green ringen van de twee tensor categorieen isomorf zijn, maar de twee tensor ¨ categorieen niet tensor equivalent zijn. Een tensor categorie wordt een zwakke deformatie ¨ van een andere genoemd als hun stabiele Green ringen isomorf zijn, maar de twee categorieen¨ niet tensor equivalent zijn. Deze definitie is gemotiveerd door de studie van de Green ringen van de kleine (quasi-) kwantumgroepen. Om de deformatie van semisimpele tensor categorieen te bestuderen, klassificeren we de ¨ semisimpele tensor categorieen van rank twee. We beschouwen de categorisatie van de ¨ Z+- ring R met een unitale Z-basis {r1 = 1,r2} die voldoet aan r 2 2 , 0. Er wordt aangetoond dat er een oneindig aantal semisimpele tensor categorieen zijn van rank twee over een algebra ¨ ¨ısch gesloten veld. We bestuderen ook de semisimpele deformaties van niet-semisimpele categorieen. We ¨ geven twee methoden om niet-semisimpele tensor categorieen aan te passen naar semisimpele ¨ categorieen, zonder hun Green ring te veranderen. Concrete voorbeelden worden gegeven. ¨ Bovendien bestuderen we de duale deformatie van een tensor categorie. Enkele voldoende voorwaarden worden gegeven voor een tensor categorie om niet zelf-duaal te zijn. Als toepassing bestuderen we de deformaties van de representatie categorieen van enkele semi- ¨ groepen. We geven een voorbeeld van de zwakke deformatie van een tensor categorie. In het tweede deel van de thesis focussen we op het bestuderen van de respectievelijke Green ringen van de kleine kwantum groepen Uq en de kleine quasi-kwantum groepen Ufq, waar q een eenheidswortel is. Om dit te bekomen moeten we eerst alle eindig dimensionale, onontbindbare modules van beide kwantum groepen classificeren. Het moeilijke gedeelte is het ontbinden van tensor producten van eindig dimensionale onontbindbare modulen, en het vinden van ontbindingsregels voor deze tensor product modulen. Als laatste moeten we de structuren van de Green ringen beschrijven via generatoren en relaties. Het blijkt dat de stabiele Green ringen van Uq en Ueq isomorf zijn. Maar, hun Green ringen zijn dat niet. Dus, vanuit het perspectief van representatie theorie, zijn de kleine quasi-kwantum groepen zwakke deformaties van de kleine kwantum groepen. Het is geweten dat de representatie categorie van de Radford algebra een zwakke deformatie is van de Taft algebra. We vragen ons af of de Drinfeld dubbel van de Radford algebra een zwakke deformatie is van de dubbel van de Taft algebra of de dubbel van de veralgemeende Taft algebra. In Hoofdstuk 6 zullen we de representatie theorie van de kwantum dubbel D(Rmn(q)) van de Radford algebra Rmn(q) bestuderen. De Hopf algebra structuur van D(Rmn(q)) is beschreven via generatoren en relaties. We classificeren alle simpele D(Rmn(q))- modulen en alle onontbindbare projectieve D(Rmn(q))-modulen.