Brauer groups of braided fusion categories

Abstract

De hoofdzaak van deze thesis is het karakterizeren van Brauer groepen van gevlochten fusie categorie¨en, door gebruik te maken van technieken van zwakke Hopf algebras. Zij (H, R) een quasi-triangulaire zwakke Hopf algebra. Ten eerste tonen we aan dat het vol centrum van het eenheidsobject (zoals in [26]) isomorf is met een centralizer deelalgebra van H. We bewijzen dat dit vol centrum is uitgerust met de structuur van een gevlochten Hopf algebra. Ten tweede gaan we deze gevlochten Hopf algebra RH gebruiken om aan te tonen dat de categorie van Yetter-Drinfeld modulen equivalent is met de categorie van linkse RH-comodulen in de categorie (als gevlochten mono¨idale categorie¨en). Ten derde, zij A een gevlochten bi-Galois objecten over RH, de functor A− is een gevlochten auto-equivalentie van de categorie van Yetter-Drinfeld modulen als en slechts als A quantum commutatief is. Ten slotte defini¨eren we de groep bestaande uit quantum commutatieve Galois objecten. Zij H een eindig dimensionale coquasi-triangulaire zwakke Hopf algebra over een veld k, we beschrijven een verband tussen de Brauer groep en de groep van quantum commutatieve Galois objecten aan de hand van een rij van groepen. Dit veralgemeent de exact rij in [88] voor zwakke Hopf algebras. Indien k een algebra¨isch gesloten veld is van karakteristiek nul en indien H cosemi-eenvoudige en co-aangesloten is, bekomen we een isomorfisme tussen de Brauer groep Br(MH) en de groep van quantum commutatieve Galois objecten. Als toepassing verkrijgen we dat, voor een gevlochten fusie categorie C , de Brauer groep Br(C ) isomorf is met de groep van quantum commutatieve Galois objecten over een zekere gevlochten Hopf algebra. Als voorbeeld bestuderen we de Brauer groep van alle modulaire categorie¨en verkregen uit SU(N)L-SOS modellen. Daarenboven gaan we na dat voor een zwakke Hopf algebra H, de verzameling van isomorfisme klassen van H-bi-Galois objecten een groep vormt, met als bewerking het cotensor product. Dit veralgemeent het werk van Schauenburg in [66].