Green rings of finite dimensional pointed Hopf algebras of rank one

Abstract

In deze thesis bestuderen we Green ringen van eindig dimensionale pointed Hopf algebras van rang één over een algebraïsch gesloten veld k met karakteristiek 0. Verder proberen we de verworven eigenschappen van Green ringen van pointed Hopf algebras van rang één te veralgemenen voor eindig dimensionale Hopf algebras. In Hoofdstuk 2 en Hoofdstuk 3 werken we met eindig dimensionale pointed Hopf algebras van rang één (van het nilpotente type en het niet-nilpotente type, respectievelijk). We vertonen de Green ring van een dergelijke Hopf algebra in termen van voortbrengers en relaties, waaruit we kunnen besluiten dat de Green ring commutatief en symmetrisch is met een duale basis geassocieerd aan bepaalde bijna split rijen. Het blijkt dat het Jacobson radicaal van de Green ring een hoofd-ideaal is, voortgebracht door een speciaal element voorgesteld door een lineaire combinatie van projectieve modulen, en dat de idempotenten van de Green ring triviaal zijn. Bovendien zijn de niet-triviale idempotenten van de gecomplexifieerde Green ring van een pointed Hopf algebra van rang één van het nilpotente type volledig bepaald. In Hoofdstuk 4 bestuderen we de stabiele Green ring (i.e., de Green ring van de stabiele categorie) van een eindig dimensionale pointed Hopf algebra van rang één. We tonen aan dat de stabiele Green ring overeenkomt met het quotient van de Green ring van H modulo het ideaal voortgebracht door alle projectieve modulen. Daarenboven, de gecomplexifieerd stabiele Green ring is een groepachtige algebra, en bijgevolg een bi-Frobenius algebra. In Hoofdstuk 5 bestuderen we de Green ring van een willekeurige eindig dimensionale Hopf algebra H. Ten eerste onderzoeken we kwantum dimensies van indecomposabele H-modulen. Hierdoor kunnen we een antwoord geven op de vraag van Cibils. Vervolgens bestuderen we enkele ringtheoretische eigenschappen van de Green ring r(H) van H, waaronder de beschrijvingen van zekere belangrijke eenzijdige idealen, de nilpotente idealen en de centrale primitieve idempotenten van r(H). Bovendien bewijzen we dat de stabiele Green ring van H een associatieve non-degenerate bi-lineaire vorm bezit die geïnduceerd wordt door de bi-lineaire vorm op r(H). Ten slotte, indien H een sferische Hopf algebra is, vormt de quotiënt categorie van H-modulen modulo alle verwaarloosbare morfismen een addititieve semisimpele sferische monoïdale categorie. We tonen aan dat de Green ring van de quotiënt categorie isomorf is met de quotiënt ring van r(H) modulo alle indecomposabele modulen met kwamtum dimensie nul. In het bijzonder, indien H van het eindige representatie type is, dan is de gecomplexifieerd quotiënt ring een groepachtige algebra, en bijgevolg een bi-Frobenius algebra.

Let H-mod be the category of finite dimensional representations of a Hopf algebra H over a field k. In the study of the monoidal structure of H-mod one has to consider the decompositions of the tensor product of representations in H-mod. In particular, the decomposition of the tensor product of any two indecomposable representations in H-mod. However, in general, very little is known about how a tensor product of two indecomposable representations decomposes into a direct sum of indecomposable representations. One method of addressing this problem is to consider the tensor product as the multiplication of the Green ring (or the representation ring) r(H) of H, and to study the ring-theoretical properties of the Green ring.