Calabi-Yau pointed Hopf algebras of finite Cartan type

Abstract

Het hoofddoel van deze thesis is de studie van de Calabi-Yau (CY) eigenschap van pointed Hopf algebra’s U(D, λ) van eindig Cartan type en hun overeenkomstige Nichols algebra’s B(V ). We gebruiken de homological integral om de rigid dualizing complex van een pointed Hopf algebra U(D, λ) te berekenen. We geven een nodige en voldoende voorwaarde voor U(D, λ) om een CY algebra te zijn. CY pointed Hopf algebra’s U(D, λ) met dimensie lager dan 5 worden geclassificeerd. Een Nichols algebra B(V ) van eindig Cartan type is een N p -gegradeerde algebra (p in N), zodat de geassocieerde gegradeerde algebra GrB(V ) een quantum veelterm algebra is. We verkrijgen de rigid dualizing complex van B(V ) door middel van een analyse van de relaties met de rigid dualizing complexen van GrB(V ) en U(D, λ). We geven een nodige en voldoende voorwaarde voor B(V ) om een CY algebra te zijn. Het blijkt dat de algebra’s U(D, λ) en B(V ) niet gelijktijdig CY algebra’s kunnen zijn. Zij H een eindig dimensionale Hopf algebra en zij R een braided Hopf algebra in de category H HYD van Yetter-Drinfeld modulen. Het verband tussen de CY eigenschap van R en van R#H wordt besproken. In het geval dat R CY is en H semi-simpel is, berekenen we de homological integral van R#H en geven we een nodige en voldoende voorwaarde opdat R#H een CY algebra is. Indien H de groep algebra kΓ van een eindige groep Γ is en R#kΓ een CY algebra is, geven we een nodige en voldoende voorwaarde voor R om een CY algebra te zijn, door middel van de rigid dualizing complex van R te berekenen. Ten slotte bestuderen we de eigenschappen van een eindig dimensionale pointed v Hopf algebra u(D, λ, µ). Door gebruik te maken van de Hochschild-Serre spectraal reeks, beschrijven we de volledige structuur van de Ext algebra van een Nichols algebra van type A2 in termen van voortbrengers en relaties. Als toepassing bewijzen we dat pointed Hopf algebra’s u(D, λ, µ) met Dynkin diagrammen van type A, D of E, met uitzondering van type A1 en A1 × A1 met orde NJ > 2 voor minstens ´e´en component J, wild zijn. Ten tweede bestuderen we de CY eigenschap van een eindig dimensionale Hopf algebra u(D, λ, µ). Dit is onmogelijk een CY algebra. Door een analyse van de structuur van de Ext algebra, bekomen we dat de bijhorende stable categorie geen CY categorie is.

The notion of a Calabi-Yau (CY) category has its origin in algebraic geometry. The bounded derived category of coherent sheaves on a CY manifold has a Serre functor which is isomorphic to a power of the shift functor. A triangulated category satisfying this condition was defined to be a CY category by Kontsevich [47]. He used CY categories to study the homological mirror symmetry. In this thesis, we follow Ginzburg’s definition of a CY algebra [32] (Definition 1.5.6). This definition is a non-categorical definition, and was inspired by Van den Bergh’s duality theorem [67]. If A is a CY algebra of dimension d, then the category Db/fd(A) is a CY category by [44, Lemma 4.1], where Db/fd(A) is the full triangulated subcategory of the derived category of A consisting of complexes whose homology is of finite total dimension.