Varying Coefficient Models & Multivariate Parameters in Partial Differential Equation Models: Inference and Estimation

Abstract

In this thesis we are interested in (unknown) functions which appear in statistical models, and testing procedures concerning these unknown functions. These functions are estimated flexibly (nonparametric) and not according to a prespecified (parametric) form. The nonparametric technique we consider is by spline approximations. Splines are used to estimate univariate as well as multivariate functions. Then, hypothesis testing about those unknown functions is translated to a testing procedure based on the spline estimation. The first statistical model we consider is a varying coefficient model (VCM), which is an extension of the classical linear regression model in the sense that the regression coefficients are allowed to be functions, for example of time. Varying coefficient models (VCMs) are since many years popular in longitudinal data and panel data studies, and have been applied in fields such as finance, economics, ecology, epidemiology, health sciences, and so on. We estimate the coefficient by B-splines. An important question in a VCM is whether the coefficient has a particular parametric form, such as being constant or linear. This allows, on the one hand to draw conclusions on the effect of certain variables on the response variable. On the other hand, this could allow to propose a simpler model and strongly reduce the number of parameters in the model. We construct testing procedures to answer the former hypothesis, and give the supporting theoretical results for longitudinal data with correlated errors. Testing of such hypotheses in VCMs is studied in Chapter 2, with illustrations of the power through simulations and a data application. In Chapter 3 we address our second hypothesis of VCMs. There, we are interested in whether a coefficient function is monotonic or convex, i.e. the shape. We develop testing procedures for monotonicity and convexity, with the necessary theoretical results. Moreover, we give procedures to test simultaneously the shapes of certain coefficient functions. The tests use constrained and unconstrained regression splines. Application of our testing procedures on simulations reveal the effectiveness of our approach. Data applications are also given. Chapter 4 studies parameters of partial differential equations (PDEs). Many complex dynamic systems are governed by PDEs, they appear in a vast number of scientific fields such as biology, physics and finance. PDEs are determined by their parameters. Often scientists face the challenge to determine unknown parameters of a PDE, and the need to estimate them from error prone measurements. In the statistical literature it is very often assumed that the parameters are constant, which restricts the application possibilities because in reality this assumption can be crude. In Chapter 4 we extend the parametric cascading method- which was shown to be very effective for PDE models with constant parameters- to the PDE setting where the coefficients vary with multiple variables. In the case of a linear PDE model, we show that our proposed estimator of the parameters is uniformly consistent. In Chapter 1 we introduce further the concepts of this thesis with an overview of the relevant statistical literature. Finally, in Chapter 5 we conclude this thesis with a summary of the results and discuss future research perspectives.

In deze thesis zijn we ge¨ınteresseerd in (onbekende) functies die in statistische modellen voorkomen, en toetsingsprocedures omtrent deze onbekende functies. Deze functies worden flexibel geschat (niet-parametrisch) en niet volgens een voorgeschreven vorm (parametrisch). De niet-parametrische techniek die we beschouwen is via spline schattingen. Splines worden gebruikt om zowel univariate als multivariate functies te schatten. Vervolgens worden hypothesetoetsen over die onbekende functies vertaald naar een toetsingsprocedure gebaseerd op de spline schatting. Het eerste statistisch model dat we beschouwen is een model met variërende coëfficiënten, wat een uitbreiding is van het klassieke lineaire regressie model in de zin dat de regressiecoëfficiënten functies mogen zijn, bijvoorbeeld van tijd. Modellen met variërende coëfficiënten (VCM) zijn sinds vele jaren populair in longitudinale data en paneldata studies, en zijn toegepast in domeinen als financiën, economie, ecologie, epidemiologie, gezondheidswetenschappen, etc. We schatten de coëfficiënten door middel van B-splines. Een belangrijke vraag in VCM is of de coëfficiënten een bepaalde parametrische vorm hebben, zoals constantheid of lineariteit. Dit laat toe om, enerzijds uitspraken te doen over de effecten van covariaten op de respons, anderzijds een simpeler model voor te stellen en het aantal parameters in het model sterk te reduceren. We construeren toetsingsprocedures voor zulke hypothesen, met theoretische onderbouwingen voor longitudinale data met gecorreleerde fouttermen. Zulke hypothesen toetsen in VCM worden bestudeerd in Hoofdstuk 2, met illustraties aan de hand van gesimuleerde data en toepassingen op reële data. In Hoofdstuk 3 richten we ons tot andere soort hypothesen in VCM. Daar ligt onze interesse in het toetsen van monotoniciteit en convexiteit, d.i. de vorm. We ontwikkelen toetsingsprocedures voor monotoniciteit en convexiteit, met de nodige theoretische funderingen. Bovendien geven we ook procedures om simultaan de vorm van de coëfficiënten te toetsen, wat niet nodig was in univariate regressiemodellen. Gesimuleerde data onthullen de effectiviteit van onze aanpak. We beschouwen ook een reële data toepassing. Hoofdstuk 4 bestudeert parameters van modellen met partiële differentiaalvergelijkingen (PDEs). Verschillende complexe dynamische systemen zijn onderhevig aan PDEs, ze komen voor in wetenschappelijke domeinen zoals biologie, fysica, financiën, etc. PDEs worden bepaald door hun parameters. Vaak staan wetenschappers voor de uitdaging om onbekende parameters van PDEs te bepalen aan de hand van metingen die onderhevig zijn aan meetfouten. In de statistische literatuur wordt er heel vaak verondersteld dat de parameters van de PDEs constant zijn, wat de mogelijke toepassingen beperkt omdat in realiteit deze assumptie vaak te ruw is. In Hoofdstuk 4 breiden we een methode uit, waarvan reeds bewezen is dat deze effectief is in PDEs met constante parameters, naar PDEs met multivariate parameters. In het geval van lineaire PDEs tonen we aan dat onze schatter van de parameters uniform consistent is. In Hoofdstuk 1 introduceren we verder de concepten van deze thesis met een overzicht van relevante statistische literatuur. Tenslotte, in Hoofdstuk 5 geven we een overzicht van de resultaten en lichten we enkele toekomstige onderzoeksperspectieven toe.