Gevrey asymptotic properties of invariant manifolds in slow-fast systems

Abstract

In deze thesis worden singulier verstoorde problemen, die voorkomen in de studie van snel-trage systemen, bestudeerd. In hun standaardvorm zijn deze systemen gegeven door, X9 ptq εF pX, Z, εq Z9 ptq G pX, Z, εq De kritieke vari¨eteit van zulk systeem wordt gegeven door (een deel van) de nulpuntsverzameling van de vergelijking G pX, Z, 0q 0. Een eerste groot deel van de thesis besteedt aandacht aan het blijven bestaan van de kritieke vari¨eteit, als een invariante vari¨eteit, onder kleine verstoringen van de singuliere parameter ε. Meer bepaald onderzoeken we het bestaan en de eigenschappen van een ε-familie van lokaal invariante vari¨eteiten van een snel-traag systeem, dewelke naar de kritieke vari¨eteit streven voor ε Ñ 0. Zulke familie vari¨eteiten wordt een trage vari¨eteit genoemd. Het is algemeen bekend dat onder de veronderstelling van het normaal hyperbolisch zijn van de kritieke vari¨eteit, de trage vari¨eteit bestaat. Echter is deze in het algemeen niet uniek en bovendien, zelfs wanneer het snel-trage systeem re¨eel analytisch is, kan het enkel gegarandeerd worden dat de trage vari¨eteit een gladheid van een willekeurige, maar eindige, graad heeft. Het doel is om deze klassieke resultaten op verschillende punten te verbeteren. We zullen dit bereiken door het gebruik van de theorie over Gevrey asymptotische functies. Onze aanpak start vanuit een formeel standpunt. Onder voorwaarde van snel-trage regulariteit, construeren we formele machtreeksen in de de singuliere parameter die, formeel gezien, invariant zijn in het snel-trage systeem. We bekomen verder dat deze reeksen in het algemeen niet convergent zijn maar divergent van Gevrey type. Afhankelijk van het type punt, van de kritieke vari¨eteit, waarrond we een trage vari¨eteit willen construeren, onderscheiden we twee gevallen. Wanneer het punt geen evenwichtspunt van het trage vectorveld is, tonen we aan, zonder het opleggen van verdere veronderstellingen, dat er een trage vari¨eteit bestaat dewelke een Gevrey asymptotische expansie bezit. Dit is een verbetering ten opzichte van het klassieke resultaat aangezien we enkel snel-trage regulariteit eisen, wat een zwakkere eis is dan normaal hyperbolisch zijn. Bovendien zijn de trage vari¨eteiten die we bekomen in het bijzonder C 8 glad. Wanneer we kijken rond een evenwichtspunt van het trage vectorveld, bekomen we zelfs sterkere resultaten maar hiervoor moeten bijkomende veronderstellingen gemaakt worden. Meer bepaald zullen we veronderstellen dat er slechts ´e´en snelle variable is en bovendien moet het evenwichtspunt van het trage vectorveld ofwel aantrekkend ofwel afstotend zijn. Onder deze voorwaarden bekomen we dat de formele oplossing sommeerbaar is in een richting. Dit betekent dat, bovenop alle eigenschappen die een vari¨eteit met Gevrey expansie heeft, de vari¨eteit in zekere zin uniek is. Een tweede onderwerp in de thesis betreft globale dynamica in snel-trage systemen. We beschouwen een systeem, met ´e´en trage en ´e´en snelle veranderlijke, dat voldoet aan een specifieke configuratie waarbij die kritieke kromme opgedeeld is in een aantrekkend en afstotend deel en op ieder van die delen zich een snel-traag zadel bevindt. Vanwege onze eerdere, lokale, resultaten bestaan er sommeerbare trage vari¨eteiten rond deze zadels. We tonen aan dat deze verder gezet kunnen worden langsheen de kritieke kromme, met behoud van sommeerbaarheid. Vervolgens wordt nagegaan dat twee sommeerbare vari¨eteiten aaneengesloten kunnen worden, met behulp van een extra parameter, overheen een punt waar de stabiliteit van de kritieke curve verandert. Op deze manier construeren we canard oplossingen. Als laatste worden “delay differential equations” onderzocht. Dit doen we aan de hand van een specifiek model, dat gebruikt wordt bij het modelleren van neuronen activiteit. Ons hoofddoel is het aantonen dat Gevrey asymptotische technieken ook hun waarde kunnen hebben binnen het meer algemene gebied van functionele differentiaalvergelijkingen. In onze resultaten tonen we het bestaan van quasi-oplossingen aan, die een trage vari¨eteit tot op een exponentieel kleine fout na benaderen. De stap van quasi-oplossing naar echte oplossing wordt niet gemaakt en is een mogelijk toekomstig onderwerp voor onderzoek.