The Local and Global Structure of Non-Commutative Projective Planes

Abstract

Voor een commutatieve algebra A die eindig voortgebracht is over een lichaam k, werd het a_ene schema Spec A gedefinieerd. Met een eindig voortgebrachte commutatieve gegradeerde algebra A = k + A1 + A2 + : : :, associeert men een projectief schema Proj A. In beide gevallen, werd ringtheorie gebruikt om de meetkundige structuur van deze schemas te beschrijven en omgekeerd, door gebruik te maken van onder andere het fundamentele artikel van Serre [33], kunnen we de meetkundige structuur gebruiken om iets te zeggen over de algebras. Men kan dit beschouwen als een reden om te proberen een meetkundig object te associ eren met een niet-commutatieve gegradeerde algebra, dat ons meer kan vertellen over de algebra zelf en vice versa. In dit werk, beschouwen we de niet-commutatieve gegradeerde algebras die regulier zijn in de zin van Artin en Schelter. In het bijzonder diegene die globale dimensie 3 hebben. Zij k een algebraisch gesloten lichaam en A = k + A1 + A2 + : : : zo een drie dimensionale Artin-Schelter reguliere algebra, voortgebracht in graad één.

For a commutative algebra A which is finitely generated over a field k, the affine scheme Spec A was defined. To a finitely generated commutative graded algebra A = k + A1 + A2 + . . ., one associates a projective scheme Proj A. In both cases, ringtheory was used te describe the geometric structure of these schemes and vice versa, using amongst other things the fundamental paper of Serre [33], we can use the geometric structure to say something about the algebras. One could consider this as a reason to try to associate to a noncommutative graded algebra, a geometrical object, which can tell us more about the algebra itself and vice versa. In this work, we consider the non-commutative graded algebras which are regular in the sense of Artin and Schelter. In particular those who have global dimension 3. Assume that k is an algebraically closed field. Let A = k + A1 + A2 +. . ., be such a three dimensional Artin-Schelter regular algebra, generated in degree one.